ระบบพิกัดทรงกลม

ระบบพิกัดทรงกลม (อังกฤษ: spherical coordinates) เป็นระบบพิกัดสามมิติที่กำหนดตำแหน่งของจุดโดยใช้ ระยะทาง จากจุดกำเนิด มุมเชิงขั้ว ที่วัดจากแกนอ้างอิง และ มุมทิศ ที่วัดจากทิศอ้างอิงของภาพฉายบนระนาบที่ตั้งฉากกับแกน

ระบบพิกัดทรงกลมที่ใช้ θ แทนมุมทิศ และ φ แทนมุมเชิงขั้ว โดยมีแกน z เป็นแกนอ้างอิง และแกน x เป็นทิศอ้างอิง

ในบางที่ ใช้พิกัด มุมยก หรือ ละติจูด แทนมุมเชิงขั้ว

ระบบพิกัดทรงกลมใช้ได้ในหลายแขนงที่นอกเหนือจากคณิตศาสตร์ เช่น ระบบพิกัดภูมิศาสตร์และระบบพิกัดทรงกลมฟ้า

แนวคิดของพิกัดทรงกลมเป็นการขยายระบบพิกัดเชิงขั้วมาใช้ในสามมิติ (ซึ่งทำได้สองวิธี อีกวิธีคือ ระบบพิกัดทรงกระบอก) สามารถขยายออกไปบนปริภูมิในมิติที่สูงขึ้น ได้เป็นพิกัดไฮเพอร์สเฟียร์

นิยาม

จุด P ใด ๆ ในระบบพิกัดทรงกลมแสดงโดยสามสิ่งอันดับ ได้แก่

• รัศมี คือระยะห่างของ P จากจุดกำเนิด O
• มุมเชิงขั้ว คือมุมระหว่างแกนอ้างอิงกับเส้นตรง OP หรืออาจใช้ มุมยก คือมุมที่วัดจากระนาบอ้างอิงขึ้นมาหาเส้นตรง OP ซึ่งเท่ากับ 90 องศาลบด้วยมุมเชิงขั้ว
• มุมทิศ คือมุมที่คิดเครื่องหมาย ระหว่างทิศอ้างอิงและภาพฉายของ OP บนระนาบอ้างอิง

ตามปกติรัศมีจะแทนด้วย r หรือบางครั้ง ρ ส่วนพิกัดมุมทั้งสองมีการใช้สัญกรณ์ต่างกันไป โดยในวิชาคณิตศาสตร์มักใช้ φ แทนมุมทิศและ θ แทนมุมเชิงขั้ว (ซึ่งจะกลับกันกับในระบบพิกัดเชิงขั้วหรือทรงกระบอก) ส่วนในวิชาฟิสิกส์มักใช้ θ แทนมุมทิศและ φ แทนมุมเชิงขั้ว สัญกรณ์แบบฟิสิกส์นี้เป็นมาตรฐานที่แนะนำโดย ISO

ในการใช้ระบบพิกัดทรงกลมที่ r, θ, φ เป็นรัศมี มุมเชิงขั้ว และมุมทิศตามลำดับ เพื่อให้ทุกจุดมีพิกัดแบบเดียว จะต้องจำกัดขอบเขตของพิกัด โดยปกติมักให้ r ≥ 0, 0° ≤ θ ≤ 180° และ 0° ≤ φ < 360°

การแปลงระหว่างระบบพิกัด

ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

แกน z ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนถือเป็นแกนอ้างอิงของระบบพิกัดทรงกลม และแกน x ของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน แสดงทิศอ้างอิงของระบบพิกัดทรงกลม ได้เป็นสูตรแปลงระบบพิกัดทรงกลม (สัญกรณ์แบบฟิสิกส์) ว่า

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arccos {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}=\arccos {\frac {z}{r}}\\\varphi &=\arctan {\frac {y}{x}}\end{aligned}}}$

และ

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\,\sin \theta \,\cos \varphi \\y&=r\,\sin \theta \,\sin \varphi \\z&=r\,\cos \theta \end{aligned}}}$

ระบบพิกัดทรงกระบอก

การแปลงระหว่างระบบพิกัดทรงกระบอก (รัศมี ρ, มุมทิศ φ, ความสูง z) กับระบบพิกัดทรงกลม (รัศมี r, มุมเชิงขั้ว θ, มุมทิศ φ) มีสูตรว่า

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arctan {\frac {\rho }{z}}=\arccos {\frac {z}{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}}\\\varphi &=\varphi \end{aligned}}}$

และ

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=r\sin \theta \\\varphi &=\varphi \\z&=r\cos \theta \end{aligned}}}$