กึ่งแกนโท

กึ่งแกนโท (อังกฤษ: Semi-minor axis) คือ ส่วนของเส้นตรงภายในภาคตัดกรวย เช่น วงรี และ ไฮเพอร์โบลาในทางเรขาคณิต ตั้งฉากกับกึ่งแกนเอก มีปลายด้านหนึ่งอยู่ตรงตรงใจกลางของส่วนโค้ง นอกจากนี้แล้วยังเป็นหนึ่งในแกนสมมาตรของส่วนโค้ง สำหรับในวงรีจะตัดกับส่วนโค้งของวงรีเช่นเดียวกับกึ่งแกนเอก แต่ว่าเป็นแกนที่สั้นกว่า ส่วนในไฮเพอร์โบลาจะไม่ตัดกับส่วนโค้งของไฮเพอร์โบลา

กึ่งแกนเอก (สีแดง) และกึ่งแกนโท (สีน้ำเงิน) ของวงรี

วงรี

ขนาดกึ่งแกนโทของวงรีเป็นระยะทางต่ำสุดที่ลากจากจุดศูนย์กลางของวงรี (ศูนย์กลางของส่วนของเส้นตรงระหว่างจุดโฟกัส 2 จุด) ไปยังขอบของวงรี

กึ่งแกนโท ${\displaystyle b}$ มีความสัมพันธ์กับความเยื้องศูนย์กลาง ${\displaystyle e}$, กึ่งเลตัสเรกตัม ${\displaystyle \ell }$ กึ่งแกนเอก ${\displaystyle a}$ เป็นดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}}\\a\ell &=b^{2}\end{aligned}}}$

กึ่งแกนโทของวงรีเป็นค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของระยะทางสูงสุดจากจุดโฟกัสไปยังส่วนโค้งวงรี ${\displaystyle r_{\mathrm {max} }}$ และระยะทางต่ำสุดจากจุดโฟกัสไปยังส่วนโค้งวงรี ${\displaystyle r_{\mathrm {min} }}$

${\displaystyle b={\sqrt {r_{\mathrm {max} }r_{\mathrm {min} }}}}$

ขนาดกึ่งแกนโทจะแสดงด้วยสูตรต่อไปนี้

${\displaystyle 2b={\sqrt {(p+q)^{2}-f^{2}}}}$

โดยที่ ${\displaystyle f}$ คือระยะห่างระหว่างจุดโฟกัส 2 จุด และ p และ q คือระยะห่างจากจุดโฟกัสแต่ละจุดไปยังจุดบนส่วนโค้งของวงรี

ไฮเพอร์โบลา

ในภาพนี้ b คือกึ่งแกนโท (กึ่งแกนสังยุค) ของไฮเพอร์โบลา ส่วน a คือกึ่งแกนเอก

ในไฮเพอร์โบลา แกนโทมักเรียกว่า แกนสังยุค (conjugate axis) และกึ่งแกนโทก็อาจเรียกว่ากึ่งแกนสังยุค (semi-conjugate axis) โดยกึ่งแกนสังยุคหรือกึ่งแกนโทนี้คือเส้นที่ลากจากจุดยอดเส้นโค้งไฮเพอร์โบลาไปทางด้านบนหรือด้านล่างจนถึงเส้นกำกับ

ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวกึ่งแกนเอก ${\displaystyle a}$ และความยาวกึ่งแกนโท ${\displaystyle b}$ แสดงได้ด้วยสมการต่อไปนี้

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

หรืออาจความสัมพันธ์กันโดยใช้ความเยื้องศูนย์กลางดังนี้

${\displaystyle b=a{\sqrt {e^{2}-1}}}$

ในไฮเพอร์โบลานั้นความยาวกึ่งแกนโท ${\displaystyle b}$ อาจจะมากกว่าความยาวกึ่งแกนเอกได้ ${\displaystyle a}$ ต่างจากกรณีของวงรีที่แกนเอกจะหมายถึงแกนที่ยาวกว่าแกนโทเสมอ

ดูเพิ่ม

• กึ่งแกนเอกและกึ่งแกนโท

อ้างอิง

1. http://www.mathopenref.com/ellipseaxes.html,"Major / Minor axis of an ellipse",Math Open Reference, 12 May 2013
2. http://www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node27.html